da quello che descrivi potrebbe avere una polmonite, e purtroppo il fattore tempo è determinante per delle tartarughe così piccole
forse è meglio che cambi veterinario perchè, se non riconosce la specie, probabilmente non è abbastanza preparato su questi rettili

per il trasporto basta una scatoletta di plastica con coperchio traforato per il passaggio dell'ossigeno con all'interno uno straccetto/ pannocarta imbevuto di acqua per non disidratarla
dai un occhiata alla lista dei veterinari, forse trovi uno più vicino a te facilmente raggiungibile in auto (evitando così eccessivi sbalzi di temperatura durante il trasporto)

Come già detto da Gibo avvicina le lampade tra loro e ben puntate sulla zona emersa (15/20cm) in modo che la temperatura sia stabile sopra i 30 gradi
ed alza tranquillamente il livello del''acqua, sfruttando a pieno la capacità dell'acquario (lasciando un pò di bordo libero per evitare che riescano a fuggire).. sono ottime nuotatrici e necessitano di più spazio acquatico possibile

il filtro interno per funzionare correttamente deve essere composto da un pezzetto di spugna per il filtraggio meccanico e dei cannolicchi/ pasticche (siporax) per la filtrazione biologica.
un filtro biologico "maturo" riesce a scomporre le sostanze nocive derivate dalle deiezioni ma i cambi parziali (mai cambiare totalmente l'acqua) devono però essere fatti con acqua decantata ovvero acqua del rubinetto lasciata riposare in fustini o bottiglie per almeno 24/48 ore
in questo modo può evaporare il cloro presente (che ucciderebbe i batteri nitrificanti presenti nei cannolicchi)

queste schede spiegano nel dettaglio:
Tartarugando - Schemi di filtrazione acquari per tartarughe
Tartarugando - Guida a come far maturare il filtro esterno